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Monday, Apr 27th, 2015 at 05:10pm
Maths appliquées : sigmoïdes

 
Un peu de maths pour bien commencer la semaine
Étant donné que nous ne sommes pas mathématiciens, il n'y aura pas ici de définition rigoureuse ou de vocabulaire spécialisé. Il s'agira plutôt de logique et de compréhension d'un concept.  Mais si vous êtes allergiques aux maths, ça ne va quand même pas vous plaire...
 
Lorsqu'il est question de réaliser une animation réaliste ou de simuler un mouvement biologique, un simple déplacement à vitesse constante n'est pas suffisant. Par exemple, lorsqu'un guitariste change de case sur le manche, le mouvement de son doigt ne va pas passer instantanément de l'arrêt complet à un déplacement linéaire, pour s'arrêter instantanément lorsque la position visée est atteinte.
 
Intuitivement, si on décompose le mouvement, on comprend bien qu'il y a une phase d'accélération, puis de mouvement quasi-linéaire, et enfin une décéleration progressive qui compense l'inertie du bras, et permet d'ajuster finement la position atteinte.
 
Si on considère que le début du mouvement a lieu au temps 0, et s'arrête au temps 1, la distance parcourue allant de 0 (position de départ) à 1 (position d'arrivée).
Un mouvement linéaire constituerait alors une ligne droite y=x.
 

 
Une courbe avec accélération / décélération devrait ressembler à la courbe en rouge :
 

 
Cette forme en S a donné son nom à la famille de courbes : les sigmoïdes.
 
Les "véritables" sigmoïdes sont de formule y=1/(1+e^-px)  ( ^ représente la mise en exposant) avec p, le paramètre de courbure permettant d'obtenir un "S" plus ou moins prononcé :
 

 
Les courbes ont normalement une asymptote vers l'axe y=0 et y=1 et passent par (0,0). Elles ont ici été décalées pour être centrées sur le point (0.5 , 0.5)  
On voit cependant que ces courbes ne passent pas par le point (0,0) et (1,1). Il faudrait y appliquer un coefficient rectificatif afin de correspondre aux valeurs dont nous avons besoin.
 
Nous avons ensuite cherché d'autres familles de courbes, plus simples, qui pourraient également convenir.
Nous avons essayé du coté des courbes trigonométriques, et notamment 1-cos(x*PI)/2
 

 
La formule est simple, mais peu réglable. Pour obtenir une famille de courbes plus ou moins prononcées, il faut faire passer plusieurs fois la formule sur elle-même, ce qui donne, mathématiquement, pour un paramètre de courbure à 2 :  
1-cos((1-cos(x*PI)/2)*PI)/2
ce qui a l'inconvénient de prendre deux fois plus de temps de calcul pour un paramètre à 2 plutôt qu'à 1, et de ne pas pouvoir calculer facilement la courbe pour un paramètre de courbure non entier.
 
Alors nous sommes allés voir du coté des paraboles.  
En calculant séparément les deux demi-courbes:
- pour x <= 0.5 : y=x^p/(2*0.5^p)
- pour x > 0.5  : y=1-(1-x)^p/(2*0.5^p)
 
On obtient cette famille :  
 

 
Intuitivement, il semble s'agir des courbes sigmoides standards, réalignées sur les bornes attendues.
À l'essai, cela semble convenir pour pas mal d'applications, est relativement rapide (la valeur constante 2*0.5^p peut être précalculée) et réglable finement.
 
Alors, la prochaine fois que vous voyez un guitariste faire glisser son doigt sur le manche, n'hésitez pas à lui demander quel coefficient de courbure il utilise dans sa formule
by Olivier Guillion
Comments

Comment from Olivier Guillion Wednesday, Apr 29th, 2015 at 11:31am
Re: Fonction sinusoïdale
Oui, ces pages dynamiques présentant des fonctions sont vraiment utiles pour comprendre l'influence de tel ou tel paramètre sur une courbe.
Dans le même genre, j'étais tombé sur cette page, qui donnait en instantané la courbe de réponse d'une catégorie de filtres numériques : http://www.earlevel.com/main/2013/10/13/biquad-calculator-v2/
 
Cela nous a été bien utile pour mettre en place divers effets dans Harmony.

Comment from Cri-Cri Monday, Apr 27th, 2015 at 09:08pm
Fonction sinusoïdale
Ce genre de figure où l'on initialise séparément la phase en un point fixe donné et l'amplitude :
 
http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Ondes/general /sinus.php


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